奥数知识点:余数问题总结

摘要:   余数、同余与周期

  余数、同余与周期

  一、同余的定义:

  ①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。

  ②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余于b模m。

  二、同余的性质:

  ①自身性:a≡a(mod m);

  ②对称性:若a≡b(mod m),则b≡a(mod m);

  ③传递性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡ c(mod m);

  ④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);

  ⑤相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),则a×c≡ b×d(mod m);

  ⑥乘方性:若a≡b(mod m),则an≡bn(mod m);

  ⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整数c,则a×c≡ b×c(mod m×c);

  三、关于乘方的预备知识:

  ①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b

  ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

  四、被3、9、11除后的余数特征:

  ①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod 9)或(mod 3);

  ②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

  五、费尔马小定理:如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(mod p)。


     
    来源: 华清园小升初网