小学六年级数学思维:估计与估算

摘要: 小学六年级数学思维:估计与估算

  1992年小学数学奥林匹克初赛(B)卷第3题是:

  

 

  的结果是x。那么,与x最接近的整数是____。

  这道题并不要求求x,而求“与x最接近的整数”,这就是估计或估算。

  估计与估算是一种十分重要的算法,在生活实践和数学解题中有广泛的应用,其表现形式通常有以下两种:

  (1)省略尾数取近似值,即观其“大概”;

  (2)用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围,即估计范围。

  例1 A=12345678910111213÷31211101987654321,求 A的小数点后前3位数字。

  解:A>1234÷3122=0.3952…

  A<1235÷3121=0.3957…

  所以0.3952

  说明:上述解法是采用放缩法估计范围解答的,本题还可采用取近似值的办法求解。解法如下:

  将被除数、除数同时舍去13位,各保留4位,则有

  1234÷3121≈0.3953≈0.395。

  

 

  得它们的和大于3,至少要选多少个数?

  解:要使所选的数尽量少,所选用的数就应尽量大,所以应从开头依次选。首先注意到:

  

 

  

 

  从而

  

 

  

 

  所以,至少应选11个数。

  说明:(1)上述解答是采用取近似值的办法估值的,也可以利用放缩法估值解答。解法如下:

  

 

  

 

  

 

  所以,至少应选11个数。

  (2)以上解答过程中包括两个方面,其一是确定选数的原则;其二是验算找到“分界声、”,而这里的验算只是一种估计或估算,并不要求精确。

  (3)类似的问题是

至少取出多少个数,才能使取出的数的和大于2?

 

  答案是7,请读者自己练习。

  例3 右面的算式里,每个方框代表一个数字。问:这6个方框中的数字的总和是多少?

  

 

  解:每个方框中的数字只能是0~9,因此任两个方框中的数字之和最多是18。现在先看看被加数与加数中处于百位的两个数字之和,这个和不可能小于18,因为不管它们后面的两个二位数是什么,相加后必小于200,也就是说最多只能进1。这样便可断定,处于百位的两个数字之和是18,而且后面两位数相加进1。

  同样理由,处于十位的两个数字之和也是18,而且两个个位数字相加后进1。因此,处于个位的两个数字之和必是17。

  所以,6个方框中数字之和为18+18+17=53。

  例4 如果两个四位数的差等于8921,就说这两个四位数组成一个数对,那么这样的数对共有多少个,

  解:最小的四位数是1000,与1000组成一个数对的另一个四位数是 8921+1000=9921,也就是最小一个数对是 9921与1000。同时由最大的四位数是9999,可知共有

  9999-(9921―1)=79(个)

  不同的被减数。所以,这样的数对共有79个。

  说明:解答的关键在于确定符合条件的的最小数对(9921,1000),同时因为有几个不同的被减数,就有几个不同的减数相对应地存在,所以我们只要考虑有几个不同的被减数即可。

  例5 七位数175□62□的未位数字是几时,不管千位上是0~9中的哪一个数字,这个七位数都不是11的倍数?

  解:因为1750620÷11=159147……3,

  1759629÷11=159966……3,

  所以这个七位数是11的倍数的最小值是1750628,最大值是1759626。

  又因为1001=7×11×13,由数的整除性质,可知1750628加上若干个1001,或1759626减去若干个1001后,其值也是11的倍数。这样1750628,1751629,1759626,1758625,1757624,1756623,1755622,1754621,1753620都是11的倍数。

  由上述讨论可知七位数175□62□的末位数字是7时,不管其千位上是0到9中的哪一个数字,这个七位数都不是11的倍数。

  说明:上述解法是利用估算确定出取值范围再进行讨论。此题也可由能被11整除的数的特征入手解决。留给读者思考。

  例6 小明的两个衣服口袋中各有13张卡片,每张卡片上分别写着1,2,3,…,13。从这两个口袋中各拿出1张卡片并计算2张卡片上的数的乘积,可以得到许多不相等的乘积。那么,其中能被6整除的乘积共有多少个?

  解:根据题意可知,在所得到的许多不相等的乘积中,最小值是 1×1=1,最大值是13×13=169,并且1与169都不能被 6整除,这样,在得到的许多不相等的积中,能被6整除的最小值是1×6=6,最大值是13×12=26×6,而介于1×6与26×6之间的能被6整除的数并非每个都是2张卡片上的数的积,如25×6,23×6, 21×6,19×6,17×6这五个就不是。

  所以,这些积中能被6整除的数共有

  26-5=21(个)。

  说明:解答这类问题要特别注意:不能简单地根据最小值是6的1倍,最大值是6的26倍,就错误地下结论是26个。

  

 

  。如果取每个数的整数部分(例如1.64的整数部分是1,

 

  解:关键是判断从哪个数开始整数部分是2。因为2-1.64=0.36,我们

11+19×2=49。

 

  例8 有一列数,第一个数是105,第二个数是85,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的平均数,那么第19个数的整数部分是几?

  

总介于这两个数之间,所以后面各数的整数部分均为91,当然第19个数的整数部分也为91。

 

  说明:注意到每个正数都介于两个相邻整数n和n+1之间,或者写成n≤a

  例9 求下式中S的整数部分:

  

 

  解:根据“一个分数,当分子不变而分母变大时,分数值变小;当分子不变,分母变小时,分数值变大”对S的分母进行放缩。

  

 

  

不但非常麻烦,而且容易出错。为了求得一个数大概是多少,我们采用放缩法,以确定它的范围,也就是估值。放缩是解答估值问题的一种常用方法。在用这种方法时,一定要注意放缩要适当,要合情合理。

 

  一个类似的问题是

  

 

  答案是19。

  例10 学校组织若干人参加夏令营。先乘车,每个人都要有座位,这样需要每辆有60个座位的汽车至少4辆。而后乘船,需要定员为70人的船至少3条。到达营地后分组活动,分的组数跟每组的人数恰好相等。这个学校参加夏令营的人有多少?

  解:由“每辆有60个座位的汽车至少4辆”可知,参加夏令营的人数在(60×3+1=)181~(60×4=) 240人之间。

  由“需要定员为70人的船至少3条”可知,参加夏令营人数在(70×2+1=)141~(70×3=)210人之间。

  这样,参加夏令营的人数在181~210人之间。又由“分的组数和每组人数恰好相等”可知,参加夏令营的人数一定是一个平方数。而181~210之间只有196是平方数,所以参加夏令营的人数是196。

  说明:解答此题的关键是估计人数的范围:

  从乘车来看,1≤第四辆车人数≤60,

  从乘船来看,1≤第三条船人数≤70,

  所以,181≤夏令营的人数≤210。

  例11 将自然数按如下顺序排列:

  1 2 6 7 15 16 …

  3 5 8 14 17 …

  4 9 13 …

  10 12 …

  11 …

  在这样的排列下,数字3排在第2行第1列,数字13排在第3行第3列。

  问:数字168排在第几行第几列?

  分析:我们来分析一下给出数阵中每一斜行的规律。这里第2斜行的数字是3,2;第3斜行的数字是4,5,6;余此类推。仔细观察后我们发现:

  奇数斜行中的数字由下向上递增,

  偶数斜行中的数字由上向下递增,

  

 

  我们只要找出168位于第几斜行,再换算成原数阵中的第几行第几列,问题便解决了。

  

18斜行最大的数字是171,所以168位于第18斜行。第18斜行中的数字是由上向下递增,因此,168位于第18斜行由上向下数第(168-153=)15位,换算成原数阵的行和列,便是第15行,第(18-15+1=)4列。

 

  解法2:为方便起见,可将数阵按顺时针方向旋转45°,则原数阵变为

  1

  3 2

  4 5 6

  10 9 8 7

  11 12 13 14 15

  … … … … … … … … … …

  设168位于上述数阵的第n行,则

  1+2+…+(n―1)<168≤1+2+…+n,

  

 

  

 

  可见,n应为18,即168位于上述数阵中的第18行。

  又 168-153=15,18-15+1=4,由数阵排列次序可知168位于上述数阵的第18行从左数第4个数,从右数第15个数。将上述数阵还原为题中数阵,168在第15行第4列的位置上。

  例12 唐老鸭与米老鼠进行万米赛跑,米老鼠每分钟跑125米,唐老鸭每分钟跑100米。唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器,通过这种遥控器发出第n次指令,米老鼠就以原来速度的n×10%倒退一分钟,然后再按原来的速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜,那么它通过遥控器发出指令的次数至少是多少次?

  解:唐老鸭跑完1万米需要100分钟。设唐老鸭在100分钟内共发出n次迫使米老鼠倒退的指令,则在100分钟内米老鼠有n分钟的时间在倒退,有(100-n)分钟的时间在前进,依题意有

  125×(100-n)-125×(0.1+0.1×2+0.1×3+…+0.1×n)<10000,整理得 n(n+21)>400。

  当 n=12时, n+21=33,12×33=396<400。

  当 n=13时,n+21=34,12×34=442>400。

  所以n至少等于13,即遥控器发出指令的次数至少是13次。


     
    来源: 华清园小升初网