小学六年级数学思维:“对角线等分”知识

摘要: 小学六年级数学思维:“对角线等分”知识

  正方形、长方形、平行四边形的对角线,将这些图形等分成两个完全一样的三角形。应用这一特性,可以使一些几何图形题得解。下面略举几例说明之。

  例1 如图1,每一小方格的面积为2平方厘米,求图中四边形ABCD的面积。

  

 

  分析与解 四边形ABCD是一个不规则的图形,无法直接求出它的面积。但可考虑先求大长方形E-FGH的面积:2×(5×6)=60(平方厘米),再减去四个角上的小三角形的面积,可各三角形的底和高都不知道。根据“对角线等分”知识,在长方形AEBQ中,AB是对角线,长方形的面积是:2×(3×4)=24(平方厘米),则S△AEB=S△ABQ=24÷2=12(平方厘米);同理,线段AD、CD、BC分别是长方形AFDM、DGCN、BHCP的对角线,可求得:S△AFD=S△AMD=2×(2×2)÷2=4(平方厘米),S△GCD=S△CDN=2×(3×3)÷2=9(平方厘米),S△HBC=S△BCP=2×(2×3)÷2=6(平方厘米)。因此,四边形ABCD的面积是:60-12-4-9-6=29(平方厘米)。也可以把四边形ABCD分割成几部分,求出三角形ABQ、AMD、CDN、BCP的面积之和,再减去重复的小正方形MNPQ的面积,即S=12+4+9+6-2=29(平方厘米)。

  例2 如图2,平面上有21个点,其中每相邻三点“∴”或“∵”所形成的等边三角形,面积是1平方厘米,试计算三角形ABC的面积。

  

 

  分析与解 题目中没有告诉我们任何一条边的长度,只说每相邻三点所形成的三角形的面积为1平方厘米,因此,必须从△ABC包含多少个相邻三点所组成的三角形这方面考虑。根据“对角线等分”知识,分别以边AB、BC、AC为平行四边形AIBF、BHCE、AGCD的对角线(如图2,为了便于叙述,在相应的点中添上字母,并用虚线连接)。从图中可见,平行四边形AIBF的面积是4平方厘米,AB是其对角线,则S△ABF=4÷2=2(平方厘米);同理可求得:S△BCE=8÷2=4(平方厘米),S△ACD=6÷2=3(平方厘米)。而三角形DEF的面积正好是1平方厘米,所以,S△ABC=2+4+3+1=10(平方厘米)。

  例3 如图3,在正方形ABCD内有一个上底为3分米的直角梯形,梯形的面积比三角形的面积大15平方分米。求正方形的边长。

  

 

  分析与解 由于这道题的条件较少,难以直接从图中寻找到解法。必须根据“梯形的面积比三角形的面积大15平方分米”这一条件,设法把两个面积之差在图上表示出来,再去寻找已知数量与所求数量的联系。过E点,作BC边的垂线,交BC于F点,即EF把正方形分割成两个长方形,而BE是长方形ABFE的对角线,则S△ABE=S△BEF,由此可知,梯形与三角形的面积之差(15平方分米),正好是长方形CDEF的面积,ED是3分米,则正方形的边长是:15÷3=5(分米)。

  “对角线等分”知识,对于小学生来说,是个简单易学的内容。学生可通过实际操作,运用剪、折、拼、摆等方法,直观形象地掌握这一特性。其实,在平行四边形、三角形的面积计算公式的推导过程中(义教六年制第九册),也可以应用“对角线等分”知识进行教学。教学平行四边形的面积计算公式时,第一步是用数方格的方法求出平行四边形的面积,并且规定:“不满一格的,都按半格计算。”教师还应指出这种方法的计算结果不够精确,学生自然也对此法表示怀疑,甚至怀疑这一结果与平行四边形的底和高的联系。因此,这种方法学生学起来总觉得心理不踏实,担心答案的准确性。在教学中,我尝试应用了“对角线等分”知识,学生的疑虑消除了,同时也懂得应用此特性,准确数出三角形的面积,解答类似竞赛题,起到了举一反三的作用。


     
    来源: 华清园小升初网