小学六年级数学思维:用波形图解行程问题

摘要: 小学六年级数学思维:用波形图解行程问题

  一些复杂问题的解决,常常需要把它拆分成几个子问题,或者,把它简单化,模型化,以便于用数学工具来处理。在行程问题中,有一种匀速运动在两点之间且往复进行的类型,因为运动者往复运行在两点之间,那么它的运动轨迹必然相互掩盖而难于直观地分析,如果有两个运动者,更是如此。这时,我们引入时间变量,“拉伸”空间,使得它的轨迹看起来不重复了,从而便于分析处理。下面就结合一个实例谈一谈这一独特的分析方法。

  A的速度为30千米/小时,B的速度为20千米/小时,A和B同时从甲地出发到乙地,他们先后到乙地后又返回甲地……如此往复来回运动。已知A与B第二次迎面相遇与A第二次追上B的两点相距45千米,甲乙两地相距多少千米?

  A与B在甲、乙两地来回运动,我们试图把它的行踪直观地展示出来,但运动是往复进行的。就有后面的运动轨迹对前面运动轨迹的“掩盖”。由此,我们引入时间维度,从而拉伸A和B的运动轨迹,使其每一个全程运动轨迹不重复前次空间地呈现在我们眼前,这类似于物理学里的“摆”,在运动中的摆里装上细沙,其下置一长方形木板作匀速拉伸,这样摆的来回往复运动就留下了它自己的“足迹”。见图1。

  

 

  此题中,我们设想有两摆互不影响地同时摆动,摆长不一样,速度也不一样,作出其轨迹,如图2。

  

 

  A为“――”B为“……”,A速30千米/小时,B速20千米/小时,上方为甲地,下方为乙地。按时间维度的坐标作出它们各自的运动轨迹。由于甲乙相距一定。VA∶VB=30∶20,所以行一个全程,A用的时间tA与B用的时间tB之间tA∶tB=2∶3,A行完6个全程时,B刚好行完4个全程,时间一定时,他们的行程比是3∶2。

  由图2可观察到,A与B第一次迎面相遇在M点,第二次迎面相遇在N点。其中我们只须考察N点,由图2知,A与B第一次追上相遇(A与B同向同时达到一点)在H点。实际上2与3的最小公倍数是6,故在6小时处相遇(同向),可以推想,在第12时时,A和B又一次同向相遇,且相遇点类似地在甲地(H′点)。在图上则相差一个周期,必须指出的是H、H′,其实就是指甲地,它们并无空间上的位移,于是我们把它“移”到H0点,则NH0=45千米。

  我们观察N点,也就是AB第二次迎面相遇的这一时刻,此时,由图2可知,A已行了2个全程还多,B则行了1个全程多。相遇时,他们合计共行了4个全程。在一定的时间内,A、B共行了4个全程。他们的贡献与其

  

 

  

 

  前述H0即为题目所述第二次、第三次……追上相遇的地点,故NH0=

  

 

  答:(第二)全程长112.5千米。

  需要指出的是,本题借助波形图解题,所画曲线与波所描述的物体的摆动并不一致,我们只取其形式,展示物体运动的轨迹,其实我们假设A、B均是匀速运动的。与摆的运动完全不同,所以,不能套用物理学里的一些关于位移的公式。本题是取其形式,舍其实质,运用其思想,帮助数学解题,其锻炼思维能力的作用也是显而易见的。


     
    来源: 华清园小升初网