小学六年级数学思维:棋盘中的数字

摘要: 小学六年级数学思维:棋盘中的数字

  许多同学都喜欢下棋,可是,同学们知道棋盘上还有许多有趣的数学问题吗?

  图1是半张中国象棋的棋盘,请同学们思考几个问题:

  问题1 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?

  

 

  问题2 一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?为什么?

  问题3 一只马处于C点处,要跳到适当的位置“将军”(敌方老将在D处),不管按什么路线跳,都要跳奇数步,为什么?

  要回答这几个问题,需要应用一种饶有趣味的方法――染色法。

  将半张棋盘中的45个格点进行黑白相间染色(如图2)。由于棋盘中共有45个格点,黑点数与白点数不可能相等。而马走“日”,跳一步只能从黑点跳到白点,或从白点跳到黑点。如果马从某点出发跳遍半张棋盘,每一步都不重复,而且回到原出发点,则黑点数与白点数必然相等。但现在知道黑点、白点数目不相等,因此马可能从某点出发,一步不重复地跳回原出发点。

  由于B点是黑点,A点是白点,两点不同色,马只能从黑点跳到白点,或从白点跳到黑点,从B跳到A必须跳奇数步,6步办不到。

  第3个问题也很简单,由于C点与D点同色,马从C处跳能够“将军”的地点必与D点异色,也就是与C点异色,由问题2的解答知,不管怎样跳,都要跳奇数步。

  用染色法还可以解决棋盘的覆盖问题。

  问题4 能否用17个形如图3的卡片将图4覆盖?

  

 

  图4共有34个小方格,17个1×2的卡片也有34个小方格,好象能覆盖住。我们将图4黑白相间染色,得到图5。细心观察会发现,图5中黑格有16个,白格有18个,而1×2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格,所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个,不可能盖住图4。

  问题5 图6的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形(可以重复使用某些图形),那么,最多可以用上几种不同的图形?

  

 

  先从简单的情形开始考虑。显然,只用1种图形是可以的,例如用7个(7);用2种图形也没问题,例如用1个(7),6个(1)。经试验,用6种图形也可以拼成4×7的长方形(如图7)。

  

 

  能否将7种图形都用上呢?7个图形共有(4×7=)28(个)小方格,从小方格的数量看,如果每种图形用1个,那么有可能拼成4×7的长方形。但事实上却拼不成。为了说明这个事实,我们将4×7的长方形黑、白相间染色(如图8),图中黑白格各有14个。在7种图形中,除第(2)种外,每种图形都覆盖黑、白格各2个,共覆盖黑、白格各12个,还剩下黑、白格各2个。第(2)种图形只能覆盖3个黑格、1个白格或3个白格、1个黑格,因此不可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格、2个白格。

  综上所述,要拼成4×7的长方形,最多能用上6种图形。

     
    来源: 华清园小升初网